【GESP】C++三级考试大纲知识点梳理, （3）位运算

发表于 2025/01/04

作者 OneCoder

次浏览 16 分钟阅读

GESP C++三级官方考试大纲中，共有8条考点，本文针对C++（3）号知识点进行总结梳理。

（3）掌握位运算：与(&)、或(|)、非(~)、异或(^)、左移(«)、右移(»)的基本使用方法及原理。

位运算是对二进制数据的直接操作，通常用于高效的数值计算和操作，尤其在嵌入式系统和性能优化中非常有用。理解位运算时，掌握它们的二进制原理是非常重要的。以下是从二进制的角度，对各个位运算符的详细说明：

一、与（&）运算符

1. （&）运算规则

原理：按位与运算符对两个数字的每一位进行比较，只有当 两个操作数的相应位都为 1 时，结果的相应位才为 1，否则为 0。

0 & 0 = 0
0 & 1 = 0
1 & 0 = 0
1 & 1 = 1

示例：

  
int a = 5;  // 二进制：0101
int b = 3;  // 二进制：0011
int result = a & b;  // 运算过程：0101 & 0011 = 0001

过程：

  0101  (5)
& 0011  (3)
-------
  0001  (结果：1)

第1位：0 & 0 = 0
第2位：1 & 0 = 0
第3位：0 & 1 = 0
第4位：1 & 1 = 1

2. （&）应用场景

掩码操作，清除或检查某些特定位。掩码操作常用于清除数值中的某些位，或检查某些特定的位是否为 1。例如，清除某些低位、检查某一位的状态。

示例：检查一个数是否为偶数（通过与操作检查最低位）

  
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int num = 5; // 二进制：0101
    if (num & 1) {
        cout << "奇数" << endl;  // 结果是奇数
    } else {
        cout << "偶数" << endl;
    }
    return 0;
}

在这个例子中，num & 1 用来检查最低位。如果最低位是 1（即数值为奇数），结果为 true，否则为 false。

二、或（|）运算符

1. （|）运算规则

按位或运算符对两个数字的每一位进行比较，当 两个操作数的相应位有一个为 1 时，结果的相应位就为 1，否则为 0。

0 | 0 = 0
0 | 1 = 1
1 | 0 = 1
1 | 1 = 1

示例：

  
int a = 5;  // 二进制：0101
int b = 3;  // 二进制：0011
int result = a | b;  // 运算过程：0101 | 0011 = 0111

过程：

  0101  (5)
| 0011  (3)
-------
  0111  (结果：7)

第1位：0 | 0 = 0
第2位：1 | 0 = 1
第3位：0 | 1 = 1
第4位：1 | 1 = 1

2. （|）应用场景

设置某些特定位为 1，| 操作符可以用于将特定的位设置为 1，常见于标志位的设置。

示例：设置第 3 位为 1

  
#include <iostream>
#include<bitset>
using namespace std;

int main() {
    int num = 0b1010; // 二进制：1010
    num = num | 0b0100  // 设置第 3 位为 1
    cout << "结果: " << std::bitset<8>(num) << endl;  // 输出结果：00001110
    return 0;
}

输出

结果: 00001110

在这个例子中，我们使用 | 操作符和左移操作符将第 3 位设置为 1。1 << 3 产生一个只有第 3 位为 1 的掩码。

三、非（~）运算符

1. （~）运算规则

按位非（取反）运算符对数字的每一位进行反转，将 1 变为 0，0 变为 1。在二进制表示中，通常涉及到补码的概念，之前提到过，在计算机中整数通常是以补码表示的。

示例：

  
int a = 5;  // 二进制：0101
int result = ~a;  // 运算过程：~0101 = 1010

过程：

原数：
  0101  (5)
取反：
  1010  (-6，补码表示)

注意：~a 的结果不仅是二进制位的逐位取反，还会涉及到补码转化，导致负数的表示。

2.（~）应用场景

清除某一特定的位（设置为0），~ 操作符用于取反，可以结合 & 操作符来将特定位置设为0，其他位不变。

示例：第3位置为0

  
#include <iostream>
#include<bitset>
using namespace std;

int main() {
    int num2 = 0b1110;  // 二进制：1110
    num2 = num2 & ~0b0100;  // 清除第 3 位
    cout << "结果: " << std::bitset<8>(num2) << endl;  // 输出结果：00001010
    return 0;
}

在这个例子中，我们先使用 1 << 3 将第 3 位移动到相应位置，再通过 ~ 运算取反得到掩码，最后通过 & 运算清除该位。

四、异或（^）运算符

1. （^）运算规则

按位异或运算符对两个数字的每一位进行比较，只有当 两个操作数的相应位不相同 时，结果的相应位才为 1，否则为 0。

运算规则：

0 ^ 0 = 0
0 ^ 1 = 1
1 ^ 0 = 1
1 ^ 1 = 0

示例：

  
int a = 5;  // 二进制：0101
int b = 3;  // 二进制：0011
int result = a ^ b;  // 运算过程：0101 ^ 0011 = 0110

过程：

  0101  (5)
^ 0011  (3)
-------
  0110  (结果：6)

```console
- 第1位：0 ^ 0 = 0
- 第2位：1 ^ 0 = 1
- 第3位：0 ^ 1 = 1
- 第4位：1 ^ 1 = 0

2. （^）应用场景

切换某一位（^ 异或操作符）：切换位的状态（从 0 到 1 或从 1 到 0）

^ 异或运算符常用于切换某一位的值。如果该位是 0，异或后变成 1；如果该位是 1，异或后变成 0。

示例：切换第 2 位

  
#include <iostream>
#include<bitset>
using namespace std;

int main() {
    int num3 = 0b1100;       // 二进制：1100
    num3 = num3 ^ 0b0010;    // 切换第 2 位
    cout << "切换结果: " << std::bitset<8>(num3) << endl;  // 输出结果：00001110
    int num4 = 0b1110;       // 二进制：1110
    num4 = num4 ^ 0b0010;    // 切换第 2 位
    cout << "切换结果: " << std::bitset<8>(num4) << endl;  // 输出结果：00001100
}

输出

切换结果: 00001110
切换结果: 00001100

在这个例子中，我们使用 ^ 来切换第 2 位的值。如果该位原来是 1，则变为 0，反之亦然。

实现加密算法（异或）：简单加密算法（异或加密）

异或操作被广泛用于简单的加密和解密算法中，特别是在没有要求强加密的情况下，它具有对称性，即 A ^ B ^ B = A。

示例：使用异或实现加密和解密

  
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int key = 0x5A;  // 加密密钥
    int data = 123;  // 明文数据
    
    // 加密：数据与密钥异或
    int encrypted = data ^ key;
    cout << "加密结果: " << encrypted << endl;
    
    // 解密：加密结果与密钥异或
    int decrypted = encrypted ^ key;
    cout << "解密结果: " << decrypted << endl;
    
    return 0;
}

输出

加密结果: 33
解密结果: 123

在这个例子中，data ^ key 实现了数据的加密，而 encrypted ^ key 则是解密过程。由于异或具有对称性，解密过程与加密过程相同。

五、左移（«）运算符

1. （«）运算规则

左移运算符将数字的二进制位向 左移动指定的位数，右侧用零填充。每移动一位，相当于将数字乘以 2（移位数等于乘以 2 的幂）。

示例：

  
    int a = 5;            // 二进制：0101
    int result2 = a << 1;  // 运算过程：0101 << 1 = 1010
    cout << bitset<4>(result2) << endl;
    cout << result2 << endl;

输出

1010
10

过程：

  0101  (5)
<< 1 位
  1010  (结果：10)

左移 1 位，相当于 5 * 2 = 10。

扩展：

左移 2 位，相当于 5 * 4 = 20（即乘以 2 的平方）。
左移 3 位，相当于 5 * 8 = 40（即乘以 2 的立方）。

2.（«）应用场景

快速的乘法运算,左移运算符 << 实现乘以 2 的幂。这些运算通常比乘法运算更高效，特别是在需要优化性能时。

六、右移（»）运算符

1. （»）运算规则

右移运算符将数字的二进制位向 右移动指定的位数。对于有符号整数，符号位（最高位）会填充到左侧；对于负数，补充的是 1（补码表示）。

示例：

  
    int b = 5;            // 二进制：0101
    int result3 = b >> 1;  // 运算过程：0101 >> 1 = 0010
    cout << bitset<4>(b) << endl;
    cout << bitset<4>(result3) << endl;
    cout << result3 << endl;

输出

0101
0010
2

过程：

  
  0101  (5)
>> 1 位
  0010  (结果：2)

右移 1 位，相当于 5 / 2 = 2（向下取整）。

负数的右移：

负数右移操作涉及 补码表示 和 符号扩展 的概念。在计算机中，负数是通过补码表示的。右移时，符号位（最高位）会根据操作数的符号进行扩展。下面详细介绍负数右移的操作和示例。

例如，-5 的补码表示过程如下：

正数 5 的二进制表示是：0000000000000101（假设为 16 位）。
对其取反：1111111111111010。
加 1 得到补码：1111111111111011，这就是 -5 的补码表示。

有符号右移（»）：右移时，符号位会扩展，即高位填充符号位（1 或 0）。对于负数，符号位扩展为 1。

示例：

  
int c = -5;  // -5 的二进制是 1111111111111011
int result4 = c >> 1;  // 右移 1 位
cout << bitset<16>(c) << endl;
cout << bitset<16>(result4) << endl;
cout << result4 << endl;   

输出

1111111111111011
1111111111111101
-3

运算过程：

原数： 1111111111111011 (-5)
右移 1 位：1111111111111101

结果：

右移 1 位后，符号位（1）被扩展，得到的结果是 1111111111111101，即 -3（补码表示）。
因此，-5 >> 1 的结果是 -3。

右移 2 位（有符号右移 >>）

  
int num = -5;  // -5 的二进制是 1111111111111011
int result = num >> 2;  // 右移 2 位

运算过程：

原数： 1111111111111011 (-5)
右移 2 位：1111111111111110

结果：

右移 2 位后，符号位（1）继续扩展，得到的结果是 1111111111111110，即 -2（补码表示）。
因此，-5 >> 2 的结果是 -2。

2.（»）应用场景

快速的除法运算,左移运算符 >> 实现除以 2 的幂。这些运算通常比除法运算更高效，特别是在需要优化性能时。

七、总结

与（&）：两个相应位都为 1 时结果为 1，否则为 0。
或（|）：两个相应位只要有一个为 1，结果就是 1。
非（~）：逐位取反，将 1 变为 0，0 变为 1。
异或（^）：两个相应位不同时结果为 1，相同为 0。
左移（«）：每左移一位，等于乘以 2。
右移（»）：每右移一位，等于除以 2。

这些操作都基于二进制运算，因此理解它们的原理对编程中高效处理数据非常有帮助。

所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code
GESP各级别考纲要点、知识拓展和练习题目清单详见C++学习项目主页
“luogu-”系列题目已加入洛谷Java、C++初学团队，作业清单，可在线评测，团队名额有限，欢迎加入。
“bcqm-”系列题目可在编程启蒙题库进行在线评测。

GESP, 三级

GESP C++

本文由作者按照 CC BY 4.0 进行授权