【GESP】C++三级考试大纲知识点梳理, （2）数据的进制转换
GESP C++三级官方考试大纲中，共有8条考点，本文针对C++（2）号知识点进行总结梳理。
（2）掌握数据的进制转换：二进制、八进制、十进制、十六进制。
计算机中的数据以不同的进制表示。以下是对二进制、八进制、十进制和十六进制的详细介绍及其相互转换的方法。
一、各进制的定义与特点
(一) 二进制（Binary）
- 基数： 2
- 符号：
0和1 - 特点：
- 是计算机系统的基础语言。
- 易于通过物理电路（高低电平）实现。
- 权值分布： 从右到左，每一位的权值为 $(2^n)$ $（n从0开始）$。
示例： 二进制数 1011 表示 $(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11)$（十进制）。
(二) 八进制（Octal）
- 基数： 8
- 符号：
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - 特点：
- 是二进制的简化表示，每3个二进制位对应1个八进制位。
- 权值分布： 从右到左，每一位的权值为 $(8^n) （n从0开始）$。
示例： 八进制数 17 表示 $(1 \times 8^1 + 7 \times 8^0 = 15)$（十进制）。
(三) 十进制（Decimal）
- 基数： 10
- 符号：
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - 特点：
- 是人类日常使用的数字系统。
- 对应权值为 $(10^n)$。
示例： 十进制数 156 表示 $(1 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 \times 10^0 = 156)$。
(四) 十六进制（Hexadecimal）
- 基数： 16
- 符号：
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F（A~F对应 10~15） - 特点：
- 是二进制的简化表示，每4个二进制位对应1个十六进制位。
- 权值分布： 从右到左，每一位的权值为 $(16^n) （n从0开始）$。
示例： 十六进制数 1F 表示 $(1 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 31)$（十进制）。
二、 进制之间的转换
（一） 二进制与十进制转换
- 二进制转十进制：
- 按位展开，乘以对应的 $(2^n)$，求和。
- 示例：
1011转十进制
$(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11)$。
- 十进制转二进制：
- 使用“除2取余法”，逆序排列余数。
- 示例：$(11)$ 转二进制
$(11 \div 2 = 5)$ 余 $(1)$
$(5 \div 2 = 2)$ 余 $(1)$
$(2 \div 2 = 1)$ 余 $(0)$
$(1 \div 2 = 0)$ 余 $(1)$，结果：1011。
(二) 二进制与八进制转换
- 二进制转八进制：
- 每3位一组（从右到左），不足补0，按组计算。
- 示例：
110101转八进制
分组：110 101，分别计算：6和5，结果：65。
- 八进制转二进制：
- 每个八进制位转换为3位二进制。
- 示例：
65转二进制
6转二进制为110，5转二进制为101，结果：110101。
（三） 二进制与十六进制转换
- 二进制转十六进制：
- 每4位一组（从右到左），不足补0，按组计算。
- 示例：
11010111转十六进制
分组：1101 0111，分别计算：D和7，结果：D7。
- 十六进制转二进制：
- 每个十六进制位转换为4位二进制。
- 示例：
D7转二进制
D转二进制为1101，7转二进制为0111，结果：11010111。
(四) 十进制与八进制转换
- 十进制转八进制：
- 使用“除8取余法”，逆序排列余数。
- 示例：$(156)$ 转八进制
$(156 \div 8 = 19)$ 余 $(4)$
$(19 \div 8 = 2)$ 余 $(3)$
$(2 \div 8 = 0)$ 余 $(2)$，结果：234。
- 八进制转十进制：
- 按位展开，乘以对应的 $(8^n)$，求和。
- 示例：
234转十进制
$(2 \times 8^2 + 3 \times 8^1 + 4 \times 8^0 = 156)$。
(五) 十进制与十六进制转换
- 十进制转十六进制：
- 使用“除16取余法”，逆序排列余数。
- 示例：$(254)$ 转十六进制
$(254 \div 16 = 15)$ 余 $(14 (E))$
$(15 \div 16 = 0)$ 余 $(15 (F))$，结果：FE。
- 十六进制转十进制：
- 按位展开，乘以对应的 $(16^n)$，求和。
- 示例：
FE转十进制
$(15 \times 16^1 + 14 \times 16^0 = 254)$。
(六) 八进制与十六进制转换
- 八进制转十六进制：
- 先将八进制转换为二进制，再将二进制转换为十六进制。
- 示例：
65（八进制） →110101（二进制） →35（十六进制）。
- 十六进制转八进制：
- 先将十六进制转换为二进制，再将二进制转换为八进制。
- 示例：
2F（十六进制） →00101111（二进制） →57（八进制）。
三、总结
| 转换方向 | 方法 |
|---|---|
| 二进制 → 十进制 | 按位展开，乘以对应的 $(2^n)$，求和。 |
| 十进制 → 二进制 | 除2取余法，逆序排列。 |
| 二进制 → 八进制 | 每3位一组，不足补0，按组计算。 |
| 八进制 → 二进制 | 每个八进制位转换为3位二进制。 |
| 二进制 → 十六进制 | 每4位一组，不足补0，按组计算。 |
| 十六进制 → 二进制 | 每个十六进制位转换为4位二进制。 |
| 十进制 → 八进制 | 除8取余法，逆序排列。 |
| 八进制 → 十进制 | 按位展开，乘以对应的 $(8^n)$，求和。 |
| 十进制 → 十六进制 | 除16取余法，逆序排列。 |
| 十六进制 → 十进制 | 按位展开，乘以对应的 $(16^n)$，求和。 |
这些进制之间的转换是计算机科学中的基础知识，广泛用于计算机编程、网络通信和硬件设计等领域。
所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code
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